Fondasi Matematika

[KEMBALI KE MENU SEBELUMNYA]

DAFTAR ISI

2.1. Probabilitas

2.2. Probability Density Function

2.3. Expectation dan Variance

2.4. Bayesian Probability

2.5. Gaussian Distribution

2.1. Probabilitas

Menurut pendekatan klasik, probabilitas diartikan sebagai hasil bagi dari banyaknya peristiwa yang dimaksud dengan seluruh peristiwa yang mungkin. Menurut pendekatan klasik, probabilitas dirumuskan:

P(A)=X/n

Keterangan:

• P(A) = probabilitas terjadinya kegiatan A
• X = peristiwa yang dimaksud
• n = banyaknya peristiwa yang mungkin

Contoh:
Dua buah dadu dilemparkan ke atas secara bersamaan. Tentukan probabilitas munculnya angka berjumlah 5!

Penyelesaian:

Hasil yang dimaksud (X) = 4, yaitu (1,4), (4,1), (2,3), (3,2)

Hasil yang mungkin (n) = 36, yaitu (1,1), (1,2), ..., (6,5), (6,6).

P(X=4)=4/36

P(X=4)=0,11

2.2. Probability Density Function

Probability density function dikenal juga dengan istilah distribusi, yaitu tentang persebaran nilai. Sebagai contoh, penulis menceritakan pelajaran di sekolah. Terdapat ujian mata pelajaran di kelas yang beranggotakan 10 siswa, diberikan pada Tabel 2.1. Terdapat 3 orang anak mendapatkan nilai 50, 2 orang anak mendapatkan nilai 75 dan 80, 1 orang anak mendapatkan nilai 100, 1 orang anak mendapat nilai 40, serta 1 orang anak mendapatkan nilai 10.

id	nilai
1	50
2	75
3	80
4	100
5	50
6	50
7	75
8	80
9	40
10	10

Tabel 2.1: Contoh daftar nilai siswa.

 

Guru ingin mengetahui persebaran (distribusi) nilai ujian  untuk  menen- tukan batas kelas nilai menggunakan quantile. Grafik persebaran nilai mengkuan- tifikasi seberapa mungkin suatu siswa mendapat nilai tertentu, dapat  dilihat pada Gambar 2.2. Grafik ini disebut sebagai distribusi. Fungsi yang meng- hasilkan distribusi tersebut disebut probability density function. Apabila kita menjumlahkan probabilitas (probabilitas siswa mendapat nilai 0 –100) nilainya adalah 1.

Ini adalah contoh untuk data diskrit, tetapi sering kali kita berurusan dengan data kontinu. Untuk mengetahui nilai probabilitas dari  himpunan event /kejadian,  kita  dapat  mengintegralkan  kurva  distribusi  kejadian  pada interval tertentu. Ciri probability density function, nilai dibawah kurva pada interval −∞ sampai ∞ adalah 1.  

2.3. Expectation dan Variance

Salah satu operasi paling penting dalam probabilitas adalah menemukan nilai rata-rata (average) sebuah fungsi. Hal ini disebut menghitung ekspektasi (expectation). Untuk sebuah fungsi f (x) dengan distribusi probabilitas ran- dom variable adalah p(x), nilai expectation diberikan pada persamaan 2.5

Dalam kasus nyata, misalkan diberikan N buah sampel, random variable x dan fungsi f (x), dimana sampel tersebut diambil dengan distribusi tertentu yang kita tidak ketahui, maka fungsi untuk menghitung nilai expectation men- jadi persamaan 2.6, dimana xi merepresentasikan data ke-i (point ).

Perhatikan, persamaan ini sama dengan persamaan untuk menghitung rata-rata (mean atau µ) seperti yang sudah kamu pelajari di SMA. Un- tuk mengetahui seberapa variasi nilai f (x) di sekitar nilai rata-ratanya, kita menghitungnya mengunakan variance, disimbolkan dengan var(f ) atau σ2 (persamaan 2.7).

2.4. Bayesian Probability

Dalam Bayesian, nilai probabilitas digunakan untuk merepresentasikan derajat kepercayaan/ketidakpastian.

|

P (x) disebut prior, yaitu pengetahuan/asumsi awal kita. Setelah kita mengobservasi fakta baru y (dapat berupa sekumpulan data atau satu data point /event ), kita mengubah asumsi kita. P (y | x) disebut likelihood  func- tion. Likelihood function mendeskripsikan peluang data, untuk asumsi/ pengetahuan tentang x yang berubah-ubah (x sebagai parameter  yang  dapat diatur). Dengan likelihood function tersebut, kita mengoreksi pendapat akhir kita yang dapat digunakan untuk mengambil keputusan (posterior ). Secara umum probabilitas Bayesian mengubah prior menjadi posterior akibat adanya kepercayaan baru (likelihood ).

2.5. Gaussian Distribution

Distribusi adalah fenomena acak atau deskripsi matematis suatu random vari- able. Distribusi paling terkenal (mungkin juga terpenting) adalah bell curve atau distribusi normal. Distribusi normal adalah bentuk khusus  dari  Gaussian distribution. Ada beberapa macam distribusi yang akan dibahas pada bab ini, yaitu: Univariate Gaussian, Multivariate Gaussian, dan Gaussian Mixture Model. Pertama kita bahas Univariate Gaussian terlebih dahulu.

Disebut univariate karena distribusinya bergantung pada satu input vari- abel, misalkan x. Distribusi univariate Gaussian dikarakteristikkan oleh vari- abel x, mean (µ) dan variance (σ²) diberikan pada persamaan 2.10. µ dan σ² adalah rata-rata dan variance untuk kumpulan data. Karena nilai µ dan σ² bergantung pada x, maka kita dapat menganggap bahwa univariate gaussian bergantung pada satu random variable saja yaitu x.